數學手抄報資料：歐拉算法

　　微分方程的本質特征是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉算法實現的依據。歐拉(Euler)算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對于常微分方程：

　　dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]

　　y(a)=y0

　　可以將區間[a,b]分成n段，那么方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：

　　yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L

　　這就是歐拉格式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。

　　為簡化分析，人們常在yi為準確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。

　　如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^(p+1))，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。

　　歐拉公式

　　y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)

　　且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)

　　局部截斷誤差是O(h^2)

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