劉徽是中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀.他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人.
劉徽的數(shù)學(xué)著作，留傳后世的很少，所留均為久經(jīng)輾轉(zhuǎn)傳抄之作。
他的主要著作有：《九章算術(shù)注》10卷; 《重差》1卷，至唐代易名為《海島算經(jīng)》;《九章重差圖》l卷。可惜后兩種都在宋代失傳。
《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列。
但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補(bǔ)充證明.在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻(xiàn).他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根.在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則，改進(jìn)了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法.他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。
他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他計(jì)算了3072邊形面積并驗(yàn)證了這個(gè)值.劉徽提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年來中國圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位.
劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計(jì)算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生;在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致;并在中國數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”;他還建立了等差級數(shù)前n項(xiàng)和公式;提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪(面積);方程(線性方程組);正負(fù)數(shù)等等。
劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提.他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上.雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識，實(shí)際上已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系.
劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作.《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目.劉徽思想敏捷，方法靈活，既 提倡推理又主張直觀.他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人.劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生.
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