勾股定理是數學幾何中的一個定理，通俗的表述為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是余弦定理的一個特例，約有400種證明方法。
古埃及人在4500年前建造金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，就廣泛地使用勾股定理。古巴比倫(公元前1800到1600年)的數學家也提出許多勾股數組。數學史上普遍認為最先證明這個定理的是畢達哥拉斯，所以很多數學書上把此定理稱為畢達哥拉斯定理。中國古代稱直角三角形的直角邊為勾和股，斜邊為弦，故此定理稱為勾股定理。
勾股數組 (a,b,c)叫做勾股數組,當整數a,b,c滿足a^2+b^2=c^2這個條件時.
容易看出，勾股數組源于勾股定理，是人們為了解出滿足勾股定理的不定方程的所有整數解而創造的概念。
容易證明，(定理一)如果(a,b,c)是一勾股數組，則對于整數p,有(pa,pb,pc)是勾股數組，這叫做勾股數組的齊次性。
由定理一可以明確，我們比較關心的是a,b,c互質的勾股數組，這樣的勾股數組叫作本原勾股數組，可以證明，本原勾股數組有無窮多個。
由a^2+b^2=c^2及a,b,c互質可知，a,b必是一奇一偶，c必是奇。不妨設a為奇，則方程化為b^2=(c+a)(c-a),由c,a互質可知，a-c和a+c互質，從而方程可以化為(b/2)^2=(c+a)/2*(c-a)/2,令(c+a)/2=m^2,(c-a)/2=n^2 (m,n互質)，即可解出， a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2(m,n互質，從而一奇一偶)，此即本原勾股數組公式
常見勾股數組：
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 112 113
8，15，17
12，35，37
20，21，29
20，99，101
48，55，73
60，91，109
如果將勾股定理中的次方換成三及更高次的就會得到一個令人驚訝的結論，雖然在二次方時有無窮多組正整數解，但在高于二次方時卻一組也沒有，這即是所謂的費馬大定理，為了證明這個定理，人類花了三百五十八年的時間。
下面是100以內的勾股數
i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41
i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50
i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82
i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52 i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51
i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78
i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75
48 55 73 48 64 80 51 68 85 54 72 90 57 76 95 60 63 87 65 72 97
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